幺半群

一个集合$S$的二元操作$\circ$定义了一个函数$S\times S\to S$。

当一个集合$S$和该集合的一个二元运算符$\circ$满足以下关系时，我们称$S$对于$\circ$是一个幺半群，或说$(S,\circ )$是幺半群(Monoid)。

1. 结合律(associative)：$\forall a,b,c\in S,a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
2. 单位元(identity element)：$\exists e\in S,\forall a\in S$使得$a\circ e=e\circ a=a$

如果只满足结合律，则$(S,\circ )$是半群(Semigroup)

例：$(\mathbb{N},+),(\mathbb{Z},+),(\mathbb{R},+)$等，都是幺半群

交换幺半群

如果$(S,\circ )$是幺半群，且满足交换律，也即：

$$\forall a,b\in S,a\circ b=b\circ a$$