群

定义

对于一个非空集合G和二元运算，如果$(G,\ast )$满足封闭性，也即*，$\forall a,b\in G,a\ast b\in G$，那么$(G,\ast )$就是一个代数结构。

群就是这么一个代数结构，

1. 结合律(associative)：$\forall a,b,c\in G,a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
2. 单位元(identity element)：$\exists e\in G,\forall a\in G$使得$a\circ e=e\circ a=a$
3. 逆元(inverse element): $\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G$使得$a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

群是有用逆元的幺半群。

性质

• 单位元唯一
• 逆元唯一
• $a\ast b=a\ast c\to b=c$
• $(a\ast b{)}^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$
• $(a^t{)}^m=a^{tm}$
• $a^t\ast a^m=a^{t+m}$
• $(a^{-1}{)}^t=(a^t{)}^{-1}$

阿贝尔群

定义： 满足交换律的群是阿贝尔群，或者称交换群。

• 交换律：$\forall a,b\in G,a\ast b=b\ast a$

群$G$是阿贝尔群，当且仅当$\forall a,b\in G,(a\ast b{)}^2=a^2\ast b^2$。

例子： ${\mathbb{Z}}_p^{\ast }$ 表示集合元素$\{0,1,...p-1\}$ ,对应的运算为模p下的乘法。 $({\mathbb{Z}}_p^{\ast }{)}^2$ 表示模p下的二次剩余。

性质

$(a\ast b{)}^t=a^t\ast b^t$

子群

定义： 对于群$(G,\ast )$，如果$H$是$G$的非空子集，且$(H,\ast )$也是群，则称$(H,\ast )$是$(G,\ast )$的子群

定理：$H$是群$G$的非空子集，$\forall a,b\in H,a\ast b^{-1}\in H$，则$H$是$G$的子群 证明：

1. 单位元：取$b=a$，则有$a\ast a^{-}1=e\in H$
2. 逆元：取$a=e$ ，有$\forall b\in H,b^{-1}\in H$
3. 封闭：$\forall a,b\in H$，由2. 得$b^{-1}\in H$，故 $a\ast b=a\ast (b^{-1}{)}^{-1}\in H$
4. 结合律：因为G是群，对于子集的元素应用该二元运算自然满足结合律

定理：$H$是$G$的非空子集，如果$H$是有限集，而且$G$的运算*在$H$上满足封闭性，则$H$是$G$的子群

子群的构造

定理：$G$是阿贝尔群，$m\in Z$，则$G^m:=\{a^m|a\in G\}$ 是$G$的子群。

定理: $G$是阿贝尔群，$m\in G$，则$G\{m\}:=\{a\in G|a^m=e\}$是$G$的子群。

循环群

由群中一个元素通过以下方法生成的子群叫做循环群，该元素叫做生成元。

$<a>:=\{a^m|m\in \mathbb{Z},a\in G\}$