13 | 魔数 0x5f3759df

下列代码是在《雷神之锤 III 竞技场》源代码中的一个函数（已经剥离了 C 语言预处理器的指令）。其实，最早在 2002 年（或 2003 年）时，这段平方根倒数速算法的代码就已经出现在 Usenet 与其他论坛上了，并且也在程序员圈子里引起了热烈的讨论。

我先把这段代码贴出来，具体如下：

float Q_rsqrt( float number )
{
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;
 
    x2 = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );  // what the fuck? 
    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );  // 1st iteration 
    // 2nd iteration, this can be removed
    // y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); 
 
    return y;
}

这段代码初读起来，我是完全不知所云，尤其是那个魔数 0x5f3759df，根本不知道它是什么意思，所以，注释里也是 What the fuck。今天的这篇文章里，我主要就是想带你来了解一下这个函数中的代码究竟是怎样出来的。

其实，这个函数的作用是求平方根倒数，即 x−1/2，也就是下面这个算式：

当然，它算的是近似值。只不过这个近似值的精度很高，而且计算成本比传统的浮点数运算平方根的算法低太多。在以前那个计算资源还不充分的年代，在一些 3D 游戏场景的计算机图形学中，要求取照明和投影的光照与反射效果，就经常需要计算平方根倒数，而且是大量的计算——对一个曲面上很多的点做平方根倒数的计算。也就是需要用到下面的这个算式，其中的 x,y,z 是 3D 坐标上的一个点的三个坐标值。

基本上来说，在一个 3D 游戏中，我们每秒钟都需要做上百万次平方根倒数运算。而在计算硬件还不成熟的时代，这些计算都需要软件来完成，计算速度非常慢。

我们要知道，在上世纪 90 年代，多数浮点数操作的速度更是远远滞后于整数操作。所以，这段代码所带来的作用是非常大的。

计算机的浮点数表示

为了讲清楚这段代码，我们需要先了解一下计算机的浮点数表示法。在 C 语言中，计算机的浮点数表示用的是 IEEE 754 标准，这个标准的表现形式其实就是把一个 32bits 分成三段。

第一段占 1bit，表示符号位。代称为 S（sign）。

第二段占 8bits，表示指数。代称为 E（Exponent）。

第三段占 23bits，表示尾数。代称为 M（Mantissa）。

如下图所示：

然后呢，一个小数的计算方式是下面这个算式：

但是，这个算式基本上来说，完全就是让人一头雾水，摸不着门路。对于浮点数的解释基本上就是下面这张漫画里表现的样子。

下面，让我来试着解释一下浮点数的那三段表示什么意思。

第一段符号位。对于这一段，我相信应该没有人不能理解。

第二段指数位。什么叫指数？也就是说，对于任何数 x，其都可以找到一个 n，使得 2n⇐x⇐2n+1。比如：对于 3 来说，因为 2 < 3 < 4，所以 n=1。而浮点数的这个指数为了要表示 0.00x 的小数，所以需要有负数，这 8 个 bits 本来可以表示 0-255。为了表示负的，取值要放在 [-127,128] 这个区间中。这就是为什么我们在上面的公式中看到的 2(E−127) 这一项了。也就是说，n=E−127，如果 n=1，那么 E 就是 128 了。

第三段尾数位。也就是小数位，但是这里叫偏移量可能好一些。这里的取值是从[ 0 - 223]中。你可以认为，我们把一条线分成 223 个线段，也就是 8388608 个线段。也就是说，把 2n 到 2n+1 分成了 8388608 个线段。而存储的 M 值，就是从 2n 到 x 要经过多少个段。这要计算一下，2n 到 x 的长度占 2n 到 2n+1 长度的比例是多少。

我估计你对第三段还是有点不懂，那么我们来举一个例子。比如说，对 3.14 这个小数。

是正数。所以，S = 0

21 < 3.14 <22。所以，n=1， n+127 = 128。所以，E=128。

(3.14 - 2) / (4 - 2) = 0.57，而 0.57∗223=4781506.56，四舍五入，得到 M = 4781507。因为有四舍五入，所以，产生了浮点数据的精度问题。

把 S、E、M 转成二进制，得到 3.14 的二进制表示。

我们再用 IEEE 754 的那个算式来算一下：

(−1)0∗(1+2234781507)∗2(128−127)

1∗(1+0.5700000524520874)∗2

=3.1400001049041748046875

你看，浮点数的精度问题出现了。

我们再来看一个示例，小数 0.015。

是正数。所以，S = 0。

2−7<0.015<2−6 。所以，n=-7， n+127 = 120。所以，E=120。

(0.015−2−7)/(2−6−2−7) = 0.0071875/0.0078125=0.92。而 0.92∗223=7717519.36，四舍五入，得到 M = 7717519。

于是，我们得到 0.015 的二进制编码：

其中：

120 的二进制是 01111000

7717519 的二进制是 11101011100001010001111

返回过来算一下：

(−1)0∗(1+2237717519)∗2(120−127)

(1+0.919999957084656)∗0.0078125

你看，浮点数的精度问题又出现了。

我们来用 C 语言验证一下：

int main() {

float x = 3.14;

float y = 0.015;

return 0;

}

在我的 Mac 上用 lldb 工具 Debug 一下。

(lldb) frame variable

(float) x = 3.1400001

(float) y = 0.0149999997

(lldb) frame variable -f b

(float) x = 0b01000000010010001111010111000011

(float) y = 0b00111100011101011100001010001111

从结果上，完全验证了我们的方法。

好了，不知道你看懂了没有？我相信你应该看懂了。

简化浮点数公式

因为那个浮点数表示的公式有点复杂，我们简化一下：

我们令，m=(223M)，e=(E−127)。因为符号位在 y=x−21 的两端都是 0（正数），也就可以去掉，所以浮点数的算式简化为：

上面这个算式是从一个 32bits 二进制计算出一个浮点数。这个 32bits 的整型算式是：

比如，0.015 的 32bits 的二进制是：00111100011101011100001010001111，也就是整型的：

平方根倒数公式推导

下面，你会看到好多数学公式，但是请你不要怕，因为这些数学公式只需要高中数学就能看懂的。

我们来看一下，平方根数据公式：

等式两边取以 2 为基数的对数，就有了：

因为我们实际上在算浮点数，所以将公式中的 x 和 y 分别用浮点数的那个浮点数的简化算式 (1+m)∗2e 替换掉。代入 log() 公式中，我们也就有了下面的公式：

因为有对数，这公式看着就很麻烦，似乎不能再简化了。但是，我们知道，所谓的 mx 或是 my，其实是个在 0 和 1 区间内的小数。在这种情况下，log2(1.x) 接近一条直线。

那么我们就可以使用一个直线方程来代替，也就是：

于是，我们的公式就简化成了：

my+σ+ey≈−21(mx+σ+ex)

因为 m=(223M)，e=(E−127)，代入公式，得到：

移项整理一下，把 σ 和 127 从左边，移到右边：

223My+Ey≈−21(223Mx+Ex)−23(σ−127)

再把整个表达式乘以 223，得到：

≈−21(Mx+Ex223)−23(σ−127)223

可以看到一个常数：−23(σ−127)223，把负号放进括号里，变成 23(127−σ)223，并可以用一个常量代数 R 来取代，于是得到公式：

My+Ey223≈R−21(Mx+Ex223)

还记得我们前面那个“浮点数 32bits 二进制整型算式” M+E∗223 吗？假设，浮点数 x 的 32bits 的整型公式是：Ix=Mx+Ex223，那么上面的公式就可以写成：

代码分析

让我们回到文章的主题，那个平方根函数的代码。

首先是：

i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking

这行代码就是把一个浮点数的 32bits 的二进制转成整型。也就是，前面我们例子里说过的，3.14 的 32bits 的二进制是：01000000010010001111010111000011，整型是：1078523331。即 y = 3.14，i = 1078523331。

然后是：

i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?

这就是：

i = 0x5f3759df - ( i / 2 );

也就是我们上面推导出来的那个公式：

代码里的 R = 0x5f3759df。

我们又知道，R = 23(127−σ)223，把代码中的那个魔数代入，就可以计算出来：σ= 0.0450465 。这个数是个神奇的数字，这个数是怎么算出来的，现在还没人知道。不过，我们先往下看后面的代码：

x2 = number * 0.5F;

y = * ( float * ) &i;

y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration

// 2nd iteration, this can be removed

// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );

这段代码相当于下面这个公式：

这个其实是“牛顿求根法”，这是一个为了找到一个 f(x)= 0 的根而用一种不断逼近的计算方式。请看下图：

首先，初始值为 X0，然后找到 X0 所对应的 Y0（把 X0 代入公式得到 Y0 = f(X0)），然后在（X0,Y0）这个点上做一个切线，得到与 X 轴交汇的 X1。再用 X1 做一次上述的迭代，得到 X2，就这样一直迭代下去，一直找到，y = 0 时，x 的值。

牛顿法的通用公式是：

于是，对于 y=x1 来说，对固定的 x（常数），我们求 y 使得 y21−x=0，f(y)=y21−x , f’(y)=y3−2 。注意：f’(y) 是 f(y) 关于 y 的导数。

代入上述的牛顿法的通用公式后得到：

yn+1=yn−yn3−2yn21−x

=2yn(3−xyn2)=yn(1.5−0.5xyn2)

正好就是我们上面的代码。

整个代码是，之前生成的整数操作产生首次近似值后，将首次近似值作为参数送入函数最后两句进行精化处理。代码中的两次迭代正是为了进一步提高结果的精度。但由于《雷神之锤 III》的图形计算中并不需要太高的精度，所以代码中只进行了一次迭代，二次迭代的代码则被注释了。

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